14 May

MathAnalyse #7 : les nombres premiers

Publié par Nain0nain ,

Salut tout le monde ! Aujourd’hui on va parler de nombres plutôt particulier qui sont dit premiers. En effet c’est mon premier article sur l’arithmétique mais ça ne risque pas d’être le dernier !

  • Les diviseurs c’est quoi ?
  • Et donc les nombres premiers
  • Le théorème fondamental de l’arithmétique
  • Maths et nombres : impressionnant

Les diviseurs c’est quoi :

 

Vous connaissez tous les nombres 1, 2, 3… et les négatifs 1, 2, 3… ainsi que les décimaux 1,001 ; 23,8 etc. Ces nombres sont donc triés sous forme de groupe : les naturels, les relatifs, les décimaux, les rationnels et les réels (plus d’info). Nous en arithmétique on va principalement traiter les entiers naturels, et donc par conséquent il va être possible d’isoler facilement des nombres et les étudier, comme 42 ^^

 

Parlons maintenant des diviseurs. Une des principales bases de l’arithmétique et donc la propriété des diviseurs d’un nombre. En effet lors d’une division les résultats peuvent être soit des entiers naturels soit des nombres à virgule. 6/2 = 3 est un entier, mais 6/4 ne l’ai pas (=1.5). Or nous en arithmétique on va travailler que sur les entiers naturels : on vire les résultats à virgule d’où les diviseurs. Les diviseurs de A seront tous ceux qui permettent avec une division d’obtenir un résultat entier, tous ceux dont A/x fait un nombre entier. Par exemple les diviseurs de 6 sont 1 (6/1 = 6) ; 2 (6/2 = 3) ; 3 (6/3 = 2) et 6 (6/6 = 1). Les diviseurs de A sont par conséquent entre 1 et A lui-même.

 

Pour simplifier les recherches de ces diviseurs on peut parler de division euclidienne (lien) qui ne font que des divisions « entières ». La division donne donc un quotient qui est entier et un reste qui permet d’arriver au résultat. 12/5 le quotient vaut 2 et le reste est 2 : 2×5 + 2 = 12. L’intérêt est ici de regarder le reste : dans A/x si le reste vaut 0 on pourra dire que x est diviseur de A, sinon il ne l’ai point.

 

Maintenant on a encore inventé un truc génial : le modulo qui donne directement le reste de la division euclidienne et pas le quotient. (A mod x) donne le reste de A/x; Et si A mod x = 0 alors x est diviseur de A. Je vous montre ça parce que c’est plus rapide avec les modulos, les algos pour sont rapides !

 

 

Les premiers :

 

C'est un long block --', mais c'est super intéressant

 

Voilà un super nom pour des nombres, mais c’est quoi le rapport avec les divisions ? Bah la règle de base d’un premier est qu’il n’a pas de diviseurs sauf 1 et lui-même (les nombres sont toujours divisibles par eux même et 1). Par exemplaires 3 est premier, ainsi que 29. Ces nombres sont très impressionnant car ils ne sont pas réguliers dans leur disposition. En effet voici la liste de la suite des premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… On ne peut pas dire que cette liste soit totalement régulière, ce qui permet à beaucoup de choses. Un des buts actuels des mathématiciens serait de trouver une manière de calculer leurs emplacements dans la suite des entiers. De plus, plus les nombres premiers sont grands plus c’est dur de déterminer leur primalité : soit on peut faire le bourrin et tester tout les nombres et voir s'il y a un diviseur autre que 1 et le nombre en question (on peut optimiser le tout) soit utiliser des supers algos qui soit rapides (petite complexité) mais qui sont difficiles à trouver. Vous l’aurez donc compris le but est de trouver les plus grands nombres premiers ou mieux trouver leur disposition !

 

 

Théorème fondamental de l’arithmétique :

 

Bon c’est bien les nombres premiers mais en soit c’est inutile… Ah pas quand même ! Ça sert à pas mal de trucs en math et plus précisément en arithmétique. Mais je voudrais surtout vous parlez du théorème fondamental de l’arithmétique qui précise que tout les nombres peuvent être en puissance de facteurs premiers : c’est-à-dire que 12 = 3 × 2^2 et que 1200 = 2^4 × 3 × 5^2 whaou et 5 = 5 ou 7 = 7 ils sont premiers donc ils se décomposent en eux mêmes. Voilà chose intéressante ici un nombre n’est pas forcément ce que pensent mais peut aussi être une opération ; Et j’aurais même tendance à dire que cette forme factorisée qui semble être la base de l’écriture d’un nombre !

 

C’est pas chaud de trouver cette factorisation ? SI ! En fait non, il suffit de prendre tout les diviseurs d’un nombre et chercher ceux qui sont premiers et ben il suffit de tester les puissances pour que ça va bien (ou appliquer les bons calculs) dans 12 y a 1, 2, 3, 4, 6, et 12 comme diviseurs et seuls 2 et 3 sont premiers donc 3^n×2^m = 12 = 3^1×2^2. En réalité c’est pas très dur et il y a même des techniques à la main pour le faire assez rapidement. Mais à grande échelle (ce qu’adore l’homme) c’est plus très facile, les tests bourrins ne sont plus assez efficaces et deviennent facilement hyper longs à tel point que des algorithmes utilisent plus facilement les probas pour arriver au résultat rapidement.

 

Petit détail que j'ai omis : c’est que l’écriture factorisée de chaque nombre de l’univers est unique et c’est donc maintenant que ça devient intéressant ! Et oui si chaque nombre a une autre écriture qui est unique qui est très dur à trouver quand ce nombre est grand et ben ça peut faire office de clé pour la cryptologie. Et c’est même comme ça que marche le RSA (le codage pas l’aide financière) la clé publique et crypté et avec la clé privé on peut décrypter le message : tout marche avec une factorisation de semi premiers énormes (un semi premier est un nombre qui est le résultat de la multiplication de deux premiers) pour plus de détails ici. Peut être que j’irai plus en détail plus tard, mais maintenant !

La complexité des maths

Maths et nombres : impressionnant

 

Et oui comme d’habitude j’aimerai réfléchir sur ce concept de primalité. C’est assez marrant de ce dire encore une fois les maths et surtout, surtout les nombres sont qu’une invention humaine rien ici n’est faux puis-qu’imaginé des hommes. Donc on s’est embêté à créer un système de chiffrement et de numération pour simplifier la vie et avancer dans celle-ci (c’est ici qu’en découle les maths et donc la physique et les sciences plus techniques). Par conséquent nous avons inventé tous les propriétés de ceux-ci comme la divisibilité : et donc la primalité. Mais voilà encore aujourd’hui un cherche à résoudre les grands problèmes liés à ces nombres. Ce qui est la plus impressionnant c’est qu’on n’arrive pas trouver une certaine suite logique pour ces nombres premiers que nous avons-nous même inventé et déclaré premiers. Il faut croire que notre imagination aime se poser des questions ?

 

Sur ce portez-vous bien !

Nain0nain

Nain0nain

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Marry 03/04/2017 12:58

Such a informative blog it is

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