08 May

Intersection de deux cercles, simplifié !

Publié par SoulGaal ,

Intersection de deux cercles, simplifié !

On va parler de maths de bonhomme, c'est à dire calculer les points d’intersection de de deux cercles. Les équations finales sont en gras à la fin !

1. A quoi ça sert ? :

Ben en fait pas à grand chose (les maths c'est comme l'électronique: moins c'est utile plus c'est lol). Donc (j'aime bien le mot "donc") ne vous attendez pas à une révélation. ça peux servir à calculer où deux trajectoires se croiseraient ou pour localiser avec des calcul un objet grâce un émetteur/récepteur mais je vois pas trop d'autres utilités donc let's go !

Edit de Nain0nain : ça sert surtout au dessin informatique !

On peut facilement dessiner le petit triangle en connaissant juste a, b et c.

On peut facilement dessiner le petit triangle en connaissant juste a, b et c.

Attention ces équations ne marchent que dans cette configuration, c'est à dire que les centres des cercles ont les mêmes abscisses (ou les mêmes ordonnées), et l'origine et le centre du premier cercle (ça c'est pas obligatoire parce que on peut simplement faire abstraction de ça pendant les calculs) ! Ici a est la distance entre les deux cercles, b et c leur rayons, ainsi que Oc1 et Oc2 leur milieux respectifs ! 

 

 

Démo :

 

On peut calculer la distance entre deux points comme ceci : 

 

 

(Sauras tu trouver Pythagore dans ce calcul), ici en effet le sens des deux soustrcations n'a pas d'importance car il y a un carré. Par contre quand on traite les vecteurs, il y a un sens qui est important !

On l'applique donc pour nos "variables" :

 

 

Or ici l'origine du repère est XOc1 et YOc1 qui valent donc 0 :

 

 

et donc :

 

 

On fait la même chose pour c :

 

 

Or la distance entre l'origine du repère et le centre Oc2 (valeur de XOc2) vaut a, par conséquent XOc2 = a. Et YOc2 vaut 0.

 

 

et donc : 

 

 

Si je resume bien, ici nous avons que des variables que l'on connait sauf XI et YI : c'est qu'on cherche. Nous avons deux équations et donc deux inconnues, ça nous fait un système :

 

 

Il suffit de les résoudres par substitution, je vais prendre 2 et calculer en fonction de YI :

 

 

. Il suffit de passer YI et c de l'autre côté sans oublier les signes

. Et bin la racine

 

Donc : 

 

 

 

Maintenant on peut repasser à 1 :

 

 

. On remplace YI2 par ce qu'on vient de calculer

. On developpe (a - XI)2

. On casse la parenthèse - (a2 + 2a * XI - XI2)

. On simplifie XI2 - XI2.

. On passe (2a * XI) et b2 de l'autre côté sans oublier les signes

. On divise par -2a

 

et donc il y a cette fois qu'un seul X possible :

 

 

Et si on reprend le   et on calcul YI qui a deux possibilité comme sur le schéma. 

 

CQFD

 

Solution :

 

Je récapitule : 

 

et 

 

 

 

 

et 

 

 

Si vous avez un autre repère que celui du cercle c1 alors il suffit de considérer dans vos calculs qui l'est vraiment, et puis après ajouter les cordonnées de I et I2 à celle du centre du cercle c1 pour les avoirs dans votre vrai repère

 

D'ici là portez vous bien et faîtes gaffe à pas griller vos neurones ^^!


Chalut!


Ps :J'ai pris beaucoup de temps pour rédiger cet article mais j'en suis plutôt fier car c'est moi qui ai trouvé tout seul les équations et que c'est un article spécial dédicace Nain0Nain^^


Chalut tout le monde!

SoulGaal

SoulGaal

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rAthus 20/04/2017 16:31

Merci pour cet article très complet et détaillé, je l'ai utilisé pour créer une fonction JavaScript de calcul des points d'intersections de deux cercles selon les coordonnées de leurs centres et leurs rayons : https://pastebin.com/5hT3G3V8

Marry 03/04/2017 12:59

Such a nice information you have shared with us
Keep sharing
Thank you

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