22 Nov

Mathanalyse #6 : les complexes

Publié par Nain0nain ,

Hey salut tout le monde ! C'est parti pour de la physique appliquée, pour ensuite faire le lien mathématique

  • L'impédance c'est quoi ?
  • Les imaginaires !?
  • Calculons l'impédance
  • Conclusion

Les cartes mères sont +5V CC

1. L'impédance :

 

Soit un circuit électronique. Dans un circuit de base avec des piles (ou générateur) le courant est continu, c'est à dire que la tension ne varie pas en fonction du temps est reste la même au borne de mon dipôle. Prenons donc une résistance, dipôle basique. Notre générateur (parfait) peut générer infini d'ampère. Pourtant dans notre circuit de 12V qui contient la résistance, l'intensité est de 0.24A soit 240mA. Pourquoi ?

 

Parce que notre résistance a, comme son nom l'indique, a une certaine résistance qui va limiter l'intensité d'un circuit continu en fonction de sa tension à ses bornes. Cette relation est donné par la loi d'ohm : U = RI, U la tension (en volt), R la résistance (en ohm) et I l'intensité (en ampère); Donc ici 12 = 50*0.24... fin des quelques petits rappels !

 

Maintenant la question est : qu'est-ce qui se passe dans un circuit alternatif ? Quand la tension varie au court du temps, et change périodiquement de signe. Ici nous prenons une tension sinusoïdale :

 

 

Ca fait des vaguelettes

Ca fait des vaguelettes

On ne parle plus de résistance mais d'impédance, c'est ce qui limite l'intensité (impédance = résistance en courant alternatif). Nous allons ici voir l'impédance complexe !

 

 

2. Les complexes :

 

Et hop on passe sur les mathématiques et on pars sur les complexes ! Tout le monde sait qu'un négatif multiplié à un autre négatif donne un positif, donc d'après cette règle le carré d'un nombre qu'il soit positif ou négatif forcément un positif : (-5)^2 = (-5) * (-5) = 25 comme 3^2 = 9. C'est vrai dans le grand groupe des réels : ℝ. Mais je ne vais pas travailler dans les réels mais dans les complexe : ℂ. Pour comprendre les complexes, il faut comprendre les imaginaires. Les nombres imaginaires pur sont des nombres inventés qui ne sont pas réels, si vous essayez des les calculer vous n'y arriverez pas : il faut s'imaginer la règle suivante i*i = i^2 = -1. Effectivement il n'existe aucun nombre réel qui mit au carré soit négatif... Donc i = √ (-1)

 

Maintenant les nombres complexes notés z correspondent à z = a + i*b, ou a et b sont réels et i imaginaire, le module de z = √ (a^2 + b^2) noté |z| et l'argument de z est arctan(b/a) noté arg(z)

 

 

3. Calcul de notre impédance :

 

L'impédance , Z l'impédance (en ohm), R la partie résistive (qui correspond à la résistance normale) (en ohm) et X la réactance (en ohm) ici j est le nombre imaginaire.

 

Dans un circuit on a quelques modèles de bases :

 

  1. l'impédance d'une résistance est Zr = R + 0 car la réactance est nulle dans une résistance parfaite : elle ne fait que résister.
  2. l'impédance d'une capacité (condensateur) est Zc = 0 + (-j)*Xc : La résistance est nulle dans un condensateur parfait et la réactance est Xc = 2*π*ƒ*C; avec f la fréquence du signal (en hertz), C la capacité du condensateur (en farad) et j notre imaginaire.
  3. l'impédance d'une l'inductance (bobine) est Zl = 0 + j*Xl : le résistance est nulle dans une bobine parfaite et la réactance est Xl = 2*π*ƒ*L; avec f la fréquence du signal (en hertz), L l’inductance de la bobine (en Henry) et i notre imaginaire.

 

Tout simplement ici on utilise les nombres imaginaires pour calculer les impédances théorique selon les modèles prédéfinis par les grands scientifiques. Ensuite U = |Z|* I, donc avec l'impédance réelle (Module de Z ) du dipôle on peut trouver l'intensité efficace ou la tension effcace. Avec l'argument on a le déphase de la tension et l'intensité :

 

 

Comme ça, le déphasage est un angle entre les deux courbe

Comme ça, le déphasage est un angle entre les deux courbe

Ou à l'inverse on peut trouver l'impédance complexe du dipôle pour ensuite calculer sa réactance, et enfin sa capacité ou son inductance.

 

 

4.Conclusion :

 

Voilà je vous ai parlé d'un cas imaginaire de l'électricité pour pouvoir calculer des valeurs réelles. Il faut comprendre que on utilise les imaginaires pour résoudre certaines équations impossible sans, ou pour avoir des raccourcis dans les calculs. C'est quand même assez étrange de se dire qu'avec des valeurs imaginaires, des nombres pour le fait totalement abstraits, on peut obtenir des résultat concrets de la physique.

 

Comme dit plus haut la physique est concrète, contrairement au mathématique, qui faut voir comme un outil. L'imagination de l'être humain à inventé les maths, certe mais pour résoudre des cas de réalité. L'humain a-t-il une limite dans l'imagination, qui le force à rester dans le concret ?

 

Je voulais plus vous parler des nombres imaginaires qu'on appelles imaginaires, mais sont-ils aussi imaginaires qu'on le pense ? Non car les maths, même si je me répète sont crées de toute pièce par l'homme, pourquoi les imaginaires sont des nombres imaginaires, alors que le concept de nombre lui même n'est pas réel ? On cherchent à tout pris à rationaliser les maths par des exercices concret, tels que les exos sur des ventes des fruits ou la physique elle même, mais le système des ventes et de la monétisation est bien la fruit de notre cerveau, ou encore la physique est notre description de la nature, sa manifestation dans un univers quelconque. Donc encore un fois on la décrit comme bon nous semble grâce à quoi ? Au math qui sont vraie mais pas réelles. La conscience humaines ainsi que son observation est-elle concrète ?

 

Sur ce portez vous bien !

Nain0nain

Nain0nain

Commenter cet article

Suivez nous sur :